골드바흐의 추측과 4색정리

골드바흐의 추측

 

1742년 러시아 공무원 크리스티안 골드바흐 Christian Goldbach가 스위스 수학자 레온하르트 오일러 Leonhard Euler에게 편지를 보내 화가 날 정도로 어려운 문제에 대한 조언을 구했다. 그때 그는 200년 후에도 그 문제가 풀리지 않을 것이라고는 거의 상상하지 못했다.

 

그는 최근 브로드웨이 연극의 소재가 된 앨런 튜링 Alan Turing이 1937년 골드바흐 추측의 답이 절대로 발견되지 않을 것임을 보였던 것을 골드바흐가 알았다면 분명히 깜짝 놀랐을 것이다.

 

표트르 2세의 개인 교사로 일했던 골드바흐는 모든 짝수를 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다고 추측했다. 수학의 원자로 비유되는 소수는 2, 3, 5, 7, 11과 같이 1과 자기 자신 이외의 다른 수로는 나누어지지 않는수이다.

 

골드바흐에 따르면 10이라는 수는 3과 7의 합, 24는 17과 7의 합으로 나타낼 수 있다. 아무리 노력해도 골드바흐는 이런 식으로 표현될 수 없는 짝수를 찾을 수 없었다. 수학자들은 컴퓨터를 사용해 최소 1억까지 모든 짝수를 검증했고 예외를 발견하지 못했다. 하지만 그들이 살펴본 수의 다음 수에서 그 규칙을 위반하는 수가 나오지 않으리란 보장은 여전히 없다.

 

골드바흐 추측이 언제나 참이라는 증명은 1930년에 아주 조금 진전이 있었다. 당시 아무리 큰 수라도 80만 개 이내의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이 증명되었다. 모든 짝수가 2개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 증명하는 것과는 상당히 거리가 있었지만 수학자들은 유익한 출발점이라고 여겼다. 1941년 이반 비노 그래프 Ivan Matveyevich Vinogrador는 거의 목표에 이르렀고, 스탈린으로부터 10만 루블의 상금을 받았다.

 

수학자들은 원숭이들이 타자기를 마구 두들겨대다 언젠가는 셰익스피어 전집을 만들어낼 수 있다는 예와 마찬가지로 탐구를 계속하다 보면 언젠가 골드바흐 추측도 풀릴 것이라고 가정했다. 그러다 1931년 독일 수학자 쿠르트 괴델 Kurt Gödel이 본래 증명할 수 없는 문제들이 언제나 존재한다는 것을 보여주어 모두를 절망에 빠뜨렸다. 골드바흐 추측이 거기에 속할지 모르기 때문이다.

 

하지만 그걸 어떻게 알아낼 수 있을까? 수들을 하나하나 검증하다가 프로그램의 규칙에 어긋나는 것이 발견되면 멈추는 컴퓨터 프로그램을 만드는 일은 간단히 할 수 있다. 이제 어떻게든 그 프로그램을 분석해서 그것이 결국에는 멈추게 된다는 것을 증명할 수 있다면, 우리는 골드바흐가 틀렸다는 것을 알게 될 것이다. 어느 수가 프로그램을 정지시킨 주원인이었는지는 모르더라도 문제가 되는 수가 적어도 하나 존재한다는 점은 분명해진다. 반대로 그 프로그램이 끝없이 계속해서 진행된다는 것을 보여줄 수 있다면, 골드바흐 추측이 참이라는 것이 증명될 것이다. 아아! 결국 튜링이 이 프로그램이 또는 그 어떤 프로그램이든 멈출 것인지를 미리 알아내는 것이 불가능하다는 것을 보여주었다. 멈출지 아닌지를 알아내는 유일한 방법은 아마도 영원히 기다리는 것일지도 모른다.

 

골드바흐추측이 증명된다 하더라도, 괴델이나 튜링이 틀렸다는 것을 뜻하진 않는다. 증명이 불가능한 다른 정리가 분명히 존재한다. 우리가 우연히 발견하지 못했을 뿐이다.

 

4색 문제 연구의 시작

 

윌리엄 로렌스

 

하버드대학 수학 교수 조지 버크호프George D. Birkhoff는 '4색 문제를 해결하는 간접적인 방법을 제공하는 새로운 수학 방정식을 발표했다. 4색 문제란 여러 지역을 표시한 지도에서 인접한 지역을 같은 색으로 칠하지 않으면서 4가지가 넘지 않는 색으로 완성하는 것이다.

 

버크호프 교수는 “어떤 지도든지 4가지 색으로만 채울 수 있다는 것은 거의 확실하다. 하지만 고된 노력에도 불구하고 5가지 색이 충분하다는 것은 쉽게 증명하면서도, 4가지 색이 어떤 지도에도 충분하다는 것은 밝혀내지 못했다. 최근 MIT의 필립 프랭클린Philip Franklin 교수가 제시한 결과에 의하면 31개 이하의 지역으로 구성된 지도는 4가지 색만으로도 충분히 색칠할 수 있다. 지금까지 발표된 연구결과 가운데 최고수준이다"라고 말했다.

 

버크호프 교수는 4색 문제에 적용되는 일반화된 수학 방정식은 전체 풀이과정의 일부에 지나지 않는다고 말했다. 버크호프의 방법은 비유하자면 극히 작은 사물을 가시적인 영역에서 보기 위해 현미경으로 확대하는 것과 비슷하다.

 

 

 

4색 추측 증명

 

수학은 우주 항법에서부터 기업세계의 경영 전략 수립에 이르기까지 현대문명의 모든 분야에서 중심이 된다. 그러나 근대 수학 연구의 대부분이 매우 추상적이어서 주요 수학적 성과 가운데 비수학자들이 이해할 수 있는 것은 매우 드물다.

 

그 예로 최근 증명된 4색 추측이 있다. 4색 문제는 지난 2세기 동안 많은 나라의 수학자들이 참여했던 유명한 문제로 손꼽혔다. 간단히 설명하면 다음과 같다. 어떤 지도가 있다고 가정하자. 세계 지도, 어떤 연방국가의 지도, 미국의 모든 주를 나타낸 지도 등이 있다. 인접한 두 지역-국가, 주, 지방 등등이 같은 색이 되지 않게 색칠하려면 최소한 몇 가지 색이 필요할까? 5가지 색이면 충분하다는 것은 약 1세기 전에 증명되었지만 4가지 색이면 충분할 것이라는 추측은 세대를 거듭해서전 세계의 뛰어난 수학자들을 좌절시켰다.

 

이 4색 추측을 일리노이대학의 수학자 케네스 아펠Kenneth Appel과 볼프강 하켄Wolfgang Haken이 증명했다. 이들에게는 이전의 수학자들에게 없었던 매우 귀중한 도구가 있었다. 현대식 컴퓨터였다. 현재 그들의 증명 일부는 1,200시간 동안 컴퓨터 계산을 해야 하는데, 그런 계산 과정에서 약 100억 개의 논리적인 결정이 내려진다.

 

4색 추측에 대한 증명은 실용적인 면에선 의미가 없어 보인다. 그렇다고 하더라도 이 증명은 중요한 지적 위업이다. 4색 추측 증명은 2차원 공간의 특징과 그 공간이 각각의 부분들로 나누어지는 방식을 들여다볼 수 있는 중요하고도 새로운 통찰력을 제공한다.